在刑事拘留阶段，申请法律援助的具体流程包括：
首先，若犯罪嫌疑人或被告人为因经济上的困境或者其他原因未能委托辩护人，则可由其本人及其近亲自行向法律援助机构递交申请书。
接下来，法律援助机构在接到申请后将对案情进行深入审查，若认定申请人确实存在法律援助的必要，将依法指定适当的律师为其提供辩护服务。
此外，若涉及未成年人，或者有重大可能性面临被判无期徒刑或死刑的案件，并且被告未委托辩护人，公安机关、人民检察院与人民法院应按照相关规定，通知法律援助机构派遣律师作为其辩护人。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第三十五条
【法律援助辩护】犯罪嫌疑人、被告人因经济困难或者其他原因没有委托辩护人的，本人及其近亲属可以向法律援助机构提出申请。对符合法律援助条件的，法律援助机构应当指派律师为其提供辩护。
犯罪嫌疑人、被告人是盲、聋、哑人，或者是尚未完全丧失辨认或者控制自己行为能力的精神病人，没有委托辩护人的，人民法院、人民检察院和公安机关应当通知法律援助机构指派律师为其提供辩护。
犯罪嫌疑人、被告人可能被判处无期徒刑、死刑，没有委托辩护人的，人民法院、人民检察院和公安机关应当通知法律援助机构指派律师为其提供辩护。