依据《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十七条之规定，犯罪嫌疑人和被告人以及他们的法定代理人均有权向司法机关申请变更强制措施。
当人民法院、人民检察院及公安机关接到此类申请时，应于三个工作日内做出相应决定。
因此，在刑事拘留之后，若申请人提出保释申请，相关机构有责任在三个工作日内对其进行审查并决定是否同意变更强制措施。
如若拒绝保释，则需向申请人明确告知并详细解释原因。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十七条
犯罪嫌疑人、被告人及其法定代理人、近亲属或者辩护人有权申请变更强制措施。人民法院、人民检察院和公安机关收到申请后，应当在三日以内作出决定；
不同意变更强制措施的，应当告知申请人，并说明不同意的理由。