被拘役于监牢的程序路径主要可以概括为以下几个步骤：首先，一旦特定人员遭受了刑事拘留，公安机构依法有责任向其提供相应的拘留证明（通常出现在正式拘留之后），同时，被拘留者必须在即时被送往看守所进行关押，最晚不得超过二十四个小时。
除非存在无法通知或者涉及到危害国家安全犯罪、恐怖活动犯罪等可能对调查产生阻碍的情况，否则公安机构应在拘留后的二十四小时内通知被拘留者的亲属。
一旦出现阻碍调查的情况，公安机构应立即通知相关亲属。
其次，若被拘留者被证实有罪且经过法院的最终判决，那么他/她很可能会面临逮捕并被送往看守所进行关押。
在执行逮捕过程中，公安机构必须出示逮捕令，并且在逮捕后立即将被捕者送往看守所进行关押。
除非存在无法通知的特殊情况，否则公安机构应在逮捕后的二十四小时内通知被捕者的亲属。
再次，在看守所的关押期间，被拘留者将经历法律程序的各个环节，如侦查、审查起诉以及审判等。
一旦法院做出有罪判决，被拘留者将会被判以刑罚，其中可能包含监禁。
最后，如果被拘留者被判有期徒刑，他们将被送往监狱开始服刑。
以上所有流程均依据《中华人民共和国刑事诉讼法》第八十五条及第九十三条的相关规定进行。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第八十五条
公安机关拘留人的时候，必须出示拘留证。
拘留后，应当立即将被拘留人送看守所羁押，至迟不得超过二十四小时。除无法通知或者涉嫌危害国家安全犯罪、恐怖活动犯罪通知可能有碍侦查的情形以外，应当在拘留后二十四小时以内，通知被拘留人的家属。有碍侦查的情形消失以后，应当立即通知被拘留人的家属。