克什克腾旗的刑事拘留实施地通常为当地的看守所。根据《中华人民共和国刑事诉讼法》规定，公安机关如对正在行使犯罪行为或涉嫌重大犯罪嫌疑人拥有法定情节时，有权决定对其实施先行拘留。然而，拘留之后的下一步措施是必须立刻将当事人移送到看守所进行关押，最晚不得超过二十四个小时。至于当事人被拘留在何处，这主要依据当地公安机关的具体部署和安排来确定。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第八十二条
公安机关对于现行犯或者重大嫌疑分子，如果有下列情形之一的，可以先行拘留：
(一)正在预备犯罪、实行犯罪或者在犯罪后即时被发觉的；
(二)被害人或者在场亲眼看见的人指认他犯罪的；
(三)在身边或者住处发现有犯罪证据的；
(四)犯罪后企图自杀、逃跑或者在逃的；
(五)有毁灭、伪造证据或者串供可能的；
(六)不讲真实姓名、住址，身份不明的；
(七)有流窜作案、多次作案、结伙作案重大嫌疑的。