在醉驾案件的惩治过程中，涉及到严重危害公共安全行为的被告人，将会被依法追究刑事责任，其中包括刑事拘留等强制措施。刑事拘留期间的法定时限为最多37日，但这并不涵盖公安机关进行相应逮捕请求的审理时间。在实践操作上，法院在作出终审判决之后，被告人可能仍需承担拘役或有期徒刑等刑罚。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第八十九条：公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。