当某位人士因涉嫌犯罪行为而遭受刑事拘留且面临警方的追逃之际，其所涉及的处理流程主要有三大环节：
首先，公安机关会向社会公开发布针对该嫌疑人的通缉令；
其次，便是全力以赴地投入到对嫌疑犯的抓捕行动之中；
最后，便是依法对其实施拘留措施以及随后展开的调查工作和审判进程。在这个过程中，嫌疑人必须尽快寻求脱身之策并聘请律师为其提供法律援助，从而尽可能地维护自己的合法权益。倘若在逃亡时期内出现嫌疑人主动投案或者被成功抓获的情况，那么将必然面临司法程序的介入，即接受检察院的审查起诉，最终经过法院的严密审理，来决定其相应的罪责和刑罚。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百五十三条：
"应当逮捕的犯罪嫌疑人如果在逃，公安机关可以发布通缉令，采取有效措施，追捕归案。各级公安机关在自己管辖的地区以内，可以直接发布通缉令；超出自己管辖的地区，应当报请有权决定的上级机关发布。"