非法持有鸦片一千克以上、海洛因或者甲基苯丙胺五十克以上或者其他毒品数量大的，处七年以上有期徒刑或者无期徒刑，并处罚金；
非法持有鸦片二百克以上不满一千克、海洛因或者甲基苯丙胺十克以上不满五十克或者其他毒品数量较大的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处罚金；
情节严重的，处三年以上七年以下有期徒刑，并处罚金。
因此，根据法律规定来看，问题中所说的持有毒品1克的话是不会构成我国刑法所规定的非法持有毒品罪的。

《治安管理处罚法》第70条
有下列行为之一的，处十日以上十五日以下拘留，可以并处二千元以下罚款；
情节较轻的，处五日以下拘留或者五百元以下罚款：
（一)非法持有鸦片不满二百克、海洛因或者甲基苯丙胺不满十克或者其他少量毒品的；
（二)向他人提供毒品的；
（三)吸食、注射毒品的；
（四)胁迫、欺骗医务人员开具麻醉药品、精神药品的。