关于何时提出取保候审申请最为适宜，并无一个精确且普适的答案，而应根据案件的独特特点和具体情况进行全面评估与权衡。
通常而言，在刑事拘留期限届满至第37日结束期间，提出取保候审申请显得尤其重要和紧迫。
因为在此期间内，公安机关将根据相关法律规定，向检察机关提请批准逮捕犯罪嫌疑人。
倘若能够顺利在检方做出决定之前获得取保候审的批准，则获准的机会相比其他时段来说更为充裕。
然而，此种观点并非意味着超过37天之后便无法再提出取保候审申请。
若在案件审理过程中，出现了对犯罪嫌疑人有利的新证据或者情节变化，例如犯罪行为的危害程度较轻、已得到受害人的谅解等，那么申请人便可以随时提出相关请求。
需要强调的是，取保候审申请能否成功获得通过，取决于多方面的复杂因素，如案件性质的严重程度、犯罪嫌疑人潜在的社会危害性以及有否可能干扰到刑事诉讼程序的正常运作等等。