犯罪嫌疑人员在被刑事拘留之后申请取保候审的事宜，通常情况下是由公安机关、人民检察院以及人民法院进行决策的。
在案件的侦查阶段，如果公安机关认为有必要对已经被拘留的犯罪嫌疑人实施逮捕措施，但是由于证据尚且不足以支持这一决定，那么他们有权采取取保候审的方式来处理。
而在人民检察院的审查起诉环节中，如果他们认为有必要继续深入调查相关案情，同时也满足了取保候审的相关条件，那么他们同样可以批准犯罪嫌疑人提出的取保候审请求。
最后，在人民法院的审判阶段，如果被羁押的被告人符合取保候审的所有条件，那么法院也会考虑批准其取保候审的申请。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
【取保候审的条件与执行】人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。