在刑事司法程序中，当被告或罪犯的直系亲属及辩护律师有权在被告或罪犯被拘禁后立刻提出保释请求时。相关的法院、检察机关以及公安机构则有责任依据法律规定进行严格的调查审核，以确认请求是否具备符合法定条件的保释可能性。尽管并未设限确切的处理期限，然而通常情况下都须尽可能地快速响应这些请求。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
(一)可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
(二)可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
(三)患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
(四)羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。