跨越国境的取保候审过程通常涉及到国际司法互助以及引渡程序的执行。这项工作通常由公安部出入境管理总局或各省级、自治区、直辖市公安局（厅）等机构承担。具体办理流程可以分为以下几个步骤：
首先是前期审查环节，如果办案单位，比如公安机关，接到了取保候审的申请，那么他们会对被申请者的资质，还有案件本身的详细信息等等进行一个初步的审查。
其次，就是需要申请人准备相关的文件材料，包括身份证明文件、案件所必需的各类证据，以及正式的取保候审申请书等。
然后，申请人或者他的代理律师就需要将所有准备好的材料提交给具体负责的公安部门。接着，公安部门会对此类申请进行严格的审核，如果符合相关条件，他们将会把案件的相关资料转交给出入境管理总局或者相关的厅（局）。再往后，出入境管理总局或者相关的厅（局）会与国外的相关部门取得联系，提出关于取保候审的请求。
然后，国外的相关部门也会对这个请求进行仔细的审查，最后决定是否同意取保候审。一旦外国方面同意了取保候审，那么申请人就必须按照外国的法律法规来执行取保候审的程序。
最后，当取保候审的程序全部完成之后，公安部门会通知申请人有关执行情况的最新进展。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第67条
人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。