您完全可以这么做。
尽管您已经从保险公司那里得到了赔偿，但您仍有权向法院提出诉讼，要求保险公司承担起他们应当承担的赔偿责任。
这种情况往往出现在赔偿金额无法充分弥补实际损失，或者在赔偿过程中出现了争议的时候。
举个例子，若保险公司提供的赔偿金远远少于实际损失，又或是在赔偿过程中出现程序性失误，那么您就有权依据法律规定向法院提起诉讼，要求保险公司进行额外的赔偿或者对错误的赔偿决定进行更正。

《中华人民共和国保险法》第六十条
保险事故发生后，被保险人应当及时通知保险人。保险人收到通知后，应当立即派人进行现场查勘，被保险人应当予以协助。保险人应当自收到赔偿请求之日起三十日内，作出核定；
情形复杂的，应当在六十日内作出核定。保险人应当将核定结果通知被保险人；
对属于保险责任的，在与被保险人达成赔偿保险金的协议后十日内，履行赔偿保险金义务。保险合同对赔偿保险金的期限有约定的，保险人应当按照约定履行赔偿保险金义务。保险人与被保险人对赔偿保险金的数额有争议的，可以依法申请仲裁或者向人民法院提起诉讼。