在交通事故诉讼过程中，保险公司通常应当承担并支付以下相关的赔偿费用：
首先是医疗费用方面，这主要以医疗机构所开具的收款收据作为确认的依据；
其次是误工费，其金额需要参照受害方在诉讼期间内的误工时长及相应的收入水平来加以确定；
第三项为交通费，此项费用需结合受害者及其必需的陪护人员在治疗疾病或转院过程中所实际产生的交通费用进行计算；
最后还包括了护理费以及住宿费等其他相关费用。

《中华人民共和国民法典》第一千一百七十九条侵害他人造成人身损害的，应当赔偿医疗费、护理费、交通费、营养费、住院伙食补助费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入。造成残疾的，还应当赔偿辅助器具费和残疾赔偿金；
造成死亡的，还应当赔偿丧葬费和死亡赔偿金。