起诉保险公司的严谨法律程序如下所述：
首先，原告必须向当地人民法院正式提交包括起诉书、副本以及相关重要证据在内的所有诉讼材料；
然后，人民法院会对原告提交的这些文件和资料进行细致入微的审查；在经过严格的审查后，如果符合法定条件，人民法院将会做出受理决定并且正式立案；紧接着，从人民法院决定立案的那一刻开始算起，五天之内，原告的起诉书副本将会被送达到被告手中，同时也会通知被告需要在规定时间内作出书面形式的答辩；被告在收到人民法院送达的起诉书副本之后，必须在十五天之内作出书面形式的答辩；接下来就是进入到正式的开庭审理环节；
最后，根据案件的具体情况，可能会进行调解或者直接做出判决。

《民事诉讼法》第一百二十条规定，起诉应当向人民法院递交起诉状，并按照被告人数提出副本。
书写起诉状确有困难的，可以口头起诉，由人民法院记入笔录，并告知对方当事人。