在发生轻微交通事故之后选择私了解决，而后来对方又希望能够获得额外的赔偿款项，这确实需要进行深入细致的分析和判断。
如果在此次私下协商过程中，双方签署了清晰明了且具备法律效力的协定，并且该方已经按照合约内容完全履行为止，那么任何额外的赔偿要求都将被视为不合理的诉求。
然而，若当时的私了协议因存在重大误解或明显的不公允现象，或者在私了之后发现了新的损害结果，而且这些新出现的损害与事故之间存在着直接的因果关系，那么对方就有可能拥有再次提出赔偿请求的权利。

《中华人民共和国民法典》第一百四十七条
基于重大误解实施的民事法律行为，行为人有权请求人民法院或者仲裁机构予以撤销。