对于房客未按期支付租金的情况，房东可采取以下措施进行处理：首先，可以解除与该房客签订的房屋租赁合同；其次，关于可能遭受的经济损失部分，由于承租人的违约行为导致了房屋租赁合同的提前终止，出租人有权向承租人索取租赁房屋在停滞期间所产生的租金损失，然而，这部分损失的计算期限最长不能超过六个月；最后，若上述方式无法解决问题，房东还可以考虑通过法律诉讼的途径来追回欠付的租金。

《中华人民共和国民事诉讼法》第一百二十二条起诉必须符合下列条件：（一）原告是与本案有直接利害关系的公民、法人和其他组织；（二）有明确的被告；（三）有具体的诉讼请求和事实、理由；（四）属于人民法院受理民事诉讼的范围和受诉人民法院管辖。第三条人民法院受理公民之间、法人之间、其他组织之间以及他们相互之间因财产关系和人身关系提起的民事诉讼，适用本法。