若保险公司拒绝赔偿，您有权在向法院提起诉讼的过程中请求该保险公司自行支付利息。然而，能否实现这一诉求，须由法官根据实际情况做出裁定。通常来说，仅当保险公司本应当承担赔付责任，或者投保方并未出现重大过错的情况下，保险公司才会因拒赔、仅支付部分赔款或延迟赔付而面临被起诉和需支付利息的风险。此外，若保险公司出于合理原因拒绝赔偿，即被保险人所遭遇的风险并不符合相关条款规定的理赔条件，那么保险公司将无需支付任何利息，甚至可能无法退还已经缴纳的保费。

《保险法》第五十七条规定：投保人对保险公司理赔决定不服的，可以依据保险合同约定或者与保险公司协商解决；协商不成的，可以申请仲裁或者向人民法院提起诉讼。