若在交通事故中选择私下和解之后，对方未能履行其付款责任，您首先可以尝试通过进一步的沟通协商来解决问题，并明确告知对方需要履行先前所达成的约定。
然而，倘若经过充分的沟通仍然无法妥善解决问题，那么您就应当做好相应的证据留存工作，例如整理好文字性的合同协议、完整的聊天记录及其现场拍摄的照片等等。
紧接着，您便可以依法向人民法院提起民事诉讼流程，请求对方严格依照合约内容按时支付赔偿款项。
届时，法院将会依据所提交的各项证据以及严格遵循法律规定的情况下来做出最后的裁决。

《中华人民共和国民法典》第一千一百七十九条
侵害他人造成人身损害的，应当赔偿医疗费、护理费、交通费、营养费、住院伙食补助费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入。造成残疾的，还应当赔偿辅助器具费和残疾赔偿金；造成死亡的，还应当赔偿丧葬费和死亡赔偿金。