当事人在婚外生子，随父落户的流程包括：持孩子的出生医学证明、父亲本人的身份证、户口簿等，到父亲户口所在地派出所的户籍管理窗口，按照随父随母落户自愿的政策，申请办理常住户口登记，户籍管理工作人员对相关材料进行审查通过后，办理户口登记。

《中华人民共和国户口登记条例》第五条
户口登记以户为单位。同主管人共同居住一处的立为一户，以主管人为户主。单身居住的自立一户，以本人为户主。居住在机关、团体、学校、企业、事业等单位内部和公共宿舍的户口共立一户或者分别立户。户主负责按照本条例的规定申报户口登记。
第七条
婴儿出生后一个月以内，由户主、亲属、抚养人或者邻居向婴儿常住地户口登记机关申报出生登记。弃婴，由收养人或者育婴机关向户口登记机关申报出生登记。