关于抚养权变更费用的承担责任问题，下面为您做详细分析：
一、诉讼费的承担
在通过诉讼方式变更抚养权时，就会涉及到向法院缴纳诉讼费。
一般而言，诉讼费需由原告先行预交。
在案件审理结束后，法院会根据最终的判决结果来确定这笔费用由哪一方来承担。
通常情况下，败诉的一方需要承担诉讼费。
不过，法院在判定时也会充分考虑案件的具体情形。
二、律师费的承担
倘若当事人选择聘请律师来代理变更抚养权案件，那么律师费通常是由聘请律师的这一方自行承担。
当然，这也存在特殊情况，即如果双方事先有特别的约定，比如在离婚协议或者其他相关协议中明确规定了律师费的承担方式，那么就按照双方的特别约定来执行。
三、其他费用的承担
在变更抚养权的过程中，还可能会产生一些其他费用，像鉴定费、公证费等。
对于这些费用，一般遵循“谁主张、谁负担”的原则。
也就是说，由提出相应主张或者申请的一方先行垫付相关费用，最后再根据具体情况来确定究竟由哪一方来承担这笔费用。

案情回顾:

小朱和小李离婚后，就孩子抚养权变更问题产生纠纷。小朱起诉至法院，预交了诉讼费。小朱聘请律师花费律师费，且过程中产生了鉴定费。案件审理后，小朱败诉，但双方对孩子抚养均有一定责任。争议点在于各项费用该如何承担。

案情分析:

1、关于诉讼费，一般原告小朱先行预交，通常败诉方承担，但鉴于双方均有责任，法院可能按责任比例确定双方分担诉讼费的具体比例。
2、律师费方面，通常由聘请律师的小朱自行承担，但若双方此前在离婚协议等中有特别约定，则按约定执行。
3、对于鉴定费等其他费用，遵循“谁主张、谁负担”原则，由提出主张或申请的一方先行垫付，再根据具体情况确定最终承担方。