当遇到被告不履行判决支付抚养费的情况时，可通过以下途径来妥善解决：
1.申请强制执行：
依据《民事诉讼法》的相关规定，生效的法律判决文书具备强制执行力。
具体来说，在判决生效后，如果被告没有按照规定支付抚养费，原告就可以向作出该判决的法院提出强制执行的申请。
法院在接到申请后，会依据法律程序，启动强制执行流程。
法院拥有多种强制执行措施，以此确保原告的合法权益得以实现。
2.查询、冻结、划拨财产：
法院会运用专业的查询手段，全面了解被告的财产状况。
比如，查询被告在各个银行的存款信息，核实其名下是否有房产、车辆等不动产和动产。
一旦发现被告有足够的财产，法院会根据实际情况，对相关财产进行冻结，防止被告转移财产。
必要时，还会直接划拨其银行存款等财产，将相应款项用于支付抚养费。
3.扣留、提取收入：
若被告有稳定的固定收入，法院有权向其所在单位发出协助执行通知。
单位需按照要求，从被告的工资、奖金等收入中扣留、提取相应金额，用于支付抚养费。
4.司法拘留：
被告明明有能力执行判决却故意拒不执行，且情节严重，比如恶意转移财产、多次逃避执行等，法院可依法对其采取司法拘留等措施，通过这种方式督促被告履行支付抚养费的义务。

案情回顾:

小朱与小李离婚后，法院判决小李支付孩子抚养费。但判决生效后，小李一直不履行支付义务，小朱多次催讨无果。小朱申请强制执行，法院在执行过程中对小李财产查询、冻结时，小李称财产已用于生活支出，争议点在于小李是否故意转移财产逃避支付抚养费。

案情分析:

1、小朱申请强制执行符合法律规定，生效判决文书有强制执行力，法院应依法启动执行流程。
2、法院对小李财产进行查询、冻结、划拨是合理措施，若小李无法证明财产合理用途，可能被认定转移财产。
3、若小李有固定收入，法院可要求单位协助扣留、提取收入用于抚养费支付。
4、若认定小李故意拒不执行且情节严重，法院可对其采取司法拘留措施。