关于离婚时一个月大孩子的相关问题，主要聚焦在抚养权和抚养费这两个方面，下面为您详细阐述：
一、抚养权归属
在离婚案件中，对于一个月大的孩子，其抚养权的判定遵循一定法律原则。
依据我国法律规定，离婚后，不满两周岁的子女，通常以由母亲直接抚养为原则。
这主要是因为一个月大的婴幼儿处于生长发育的关键时期，在生理和心理上都极度依赖母亲的照料与哺育。
母亲的关爱和呵护，对于孩子的健康成长至关重要，比如在哺乳、日常护理等方面，母亲能给予孩子更贴心的照顾。
然而，也存在特殊情况。
若母亲患有久治不愈的传染性疾病，如艾滋病、肺结核等，或者患有其他严重疾病，导致子女不宜与其共同生活，在这种法定情形下，若父亲请求直接抚养孩子，人民法院经过综合考量，也可能会予以支持。
二、抚养费的支付
不直接抚养子女的一方需要承担部分或者全部抚养费。
抚养费数额的确定并非随意为之，而是要综合多方面因素。
首先要考虑子女的实际需要，包括孩子的生活开销、医疗费用、教育费用等。
其次，父母双方的负担能力也至关重要，若一方收入较高，相应的抚养费支付比例可能会适当提高。
此外，当地的实际生活水平也是重要参考因素。
一般来说，有固定收入的一方，抚养费一般可按其月总收入的20%至30%的比例给付，以保障孩子的基本生活需求。

案情回顾:

小朱和小李婚后育有一个月大的孩子后闹离婚，争议焦点在于孩子抚养权及抚养费问题。小朱想争取抚养权，称自己能悉心照料孩子；小李则指出小朱患有传染性疾病，认为自己更适合抚养，且对抚养费支付数额双方也存在分歧。

案情分析:

1、关于抚养权，依据法律，不满两周岁子女通常由母亲直接抚养，但小朱若确实患有久治不愈的传染性疾病等法定不宜抚养情形，小李请求直接抚养，法院经考量可能会支持小李。
2、对于抚养费，需综合考虑孩子实际需要、父母负担能力及当地生活水平等因素确定数额。若小李收入较高，支付比例可能适当提高。