在生活中，当遭遇丧偶这种不幸的情况时，抚养权和继承权是两个有着明确区分的法律概念，们分别遵循不同的法律规定，具体情况如下：
一、抚养权归属
通常情况下，父母是未成年子女的法定监护人，这是基于法律赋予的责任和义务。
当其中一方不幸死亡后，按照常理，另一方自然而然地就取得了孩子的抚养权。
这是为了保障孩子能够在熟悉的家庭环境和亲情关怀下健康成长。
然而，也存在一些特殊情况。
例如，如果另一方患有严重的疾病，可能无法全身心地照顾孩子的生活和学习；或者存在虐待孩子等不良行为，这对孩子的身心健康会造成极大的伤害。
在这种情况下，有负担能力的祖父母、外祖父母可以通过合法的途径争取孩子的抚养权，以确保孩子能得到妥善的照顾。
二、继承权问题
孩子作为第一顺序法定继承人，对父母的遗产依法享有继承权。
当继承开始后，在没有遗嘱等特殊安排的情况下，一般会按照法定继承的方式来办理。
此时，孩子有权与其他第一顺序继承人，比如父母的父母（即祖父母、外祖父母）以及配偶等，共同继承遗产。
总之，在丧偶后，孩子的抚养权通常会归属于另一方，但特殊情况需按照法律规定另行处理；而孩子对死亡一方的遗产拥有法定的继承权，这是受法律保护的。

案情回顾:

小朱丧偶后，欲取得与亡夫所生孩子小静的抚养权，但其患有严重疾病，无法全身心照顾小静。小朱的父母认为小朱无法照顾好孩子，欲争取小静的抚养权，且在遗产继承上，各方对小静能否与其他第一顺序继承人共同继承亡夫遗产存在争议。

案情分析:

1、关于抚养权，小朱虽作为孩子的法定监护人之一，但因其患有严重疾病可能影响照顾孩子的能力，这种情况下，有负担能力的祖父母即小朱的父母可以通过合法途径争取小静的抚养权，以保障孩子得到妥善照顾。
2、关于继承权，小静作为第一顺序法定继承人，在没有遗嘱等特殊安排时，依法有权与其他第一顺序继承人共同继承亡夫的遗产，其继承权受法律保护。