关于“彻底了断”这一说法，在不同层面有着不同的法律分析，下面为你详细阐述：
一、亲子关系层面
私生子也就是非婚生子女，他们与亲生父母之间存在着天然的血缘联系，这种联系是无法被人为断绝的。
从法律的角度来看，非婚生子女和婚生子女享有完全同等的权利。
这意味着，亲生父母对于非婚生子女有着不可推卸的法定责任。
这种基于血缘而产生的亲子关系是客观存在的事实，不能通过简单的协议或者其他方式随意解除。
二、经济往来层面
在经济往来方面，如果涉及到抚养费等经济问题，当子女还未成年或者不能独立生活时，父母是有义务支付抚养费的。
当然，如果父母双方经过协商，并且在不损害子女利益的前提条件下，是可以就抚养费的支付金额、支付方式以及支付时间等具体问题达成相关协议的。
不过需要明确的是，即便达成了协议，也不能免除父母法定的抚养义务。
三、身份关系层面
从身份关系的角度来说，私生子与父母之间的关系在法律上是无法彻底切断的。
这种身份关系是由血缘决定的，受法律的保护和约束。

案情回顾:

小朱是私生子，其亲生父母欲与他“彻底了断”。父母认为签个协议就能断绝关系，不用再尽抚养义务；小朱则认为自己应享有和婚生子女同等权利，父母不能随意抛弃自己，双方为此产生争议。

案情分析:

1、在亲子关系层面，小朱与亲生父母有天然血缘联系，这种联系无法人为断绝。法律规定非婚生子女和婚生子女权利同等，父母对小朱有法定责任，需保障其生存、教育等权利。
2、在经济往来层面，若小朱未成年或不能独立生活，父母有支付抚养费义务。即便协商达成相关协议，也不能免除法定抚养义务。
3、在身份关系层面，小朱与父母的关系由血缘决定，受法律保护和约束，无法彻底切断。