在特定情况下，是可以通过法律途径起诉的。
下面为你详细分析相关内容：
一、父母抚养义务的法律规定
依据我国现行法律，父母对未成年子女负有抚养教育的法定义务。
这一义务是不容置疑且必须履行的。
抚养不仅仅是提供物质上的支持，还包括关心子女的身心健康、教育培养等多方面。
二、可起诉的具体情形
当母亲不履行抚养女儿的义务时，女儿有权向法院提起诉讼。
具体来说，如果母亲拒绝支付抚养费，导致女儿的生活、教育等基本需求无法得到满足；或者存在遗弃女儿的极端行为，将女儿置于无人照顾的危险境地等，在女儿为未成年人的情况下，可由法定代理人代为起诉。
三、诉讼请求的相关内容
支付抚养费：要求母亲支付抚养费是常见的诉讼请求。
抚养费的数额确定较为复杂，通常会综合考虑母亲的收入状况、当地的生活水平以及女儿的实际生活、教育、医疗等方面的需要。
变更抚养权：在特殊情况下，
四、法院的判决依据
法院在受理此类案件后，会根据具体的事实和证据进行全面审理，并依法作出判决，要求母亲切实履行抚养义务，从而保障女儿的合法权益。

案情回顾:

小静未成年，母亲小胡拒绝支付抚养费，导致小静生活、教育等基本需求无法满足，且小胡有时将小静独自留在家中，有遗弃倾向。小静的法定代理人小朱决定起诉小胡，要求支付抚养费及变更抚养权。

案情分析:

1、小胡拒绝支付抚养费，违反了父母对未成年子女抚养教育的法定义务，在小静基本需求无法满足的情况下，小朱代小静起诉要求支付抚养费合理合法。
2、小胡存在遗弃小静的极端行为，将其置于无人照顾的危险境地，这种行为严重危害小静身心健康，小朱代小静请求变更抚养权，以保障小静成长环境，符合法律规定。