当事人可能会选择放弃抚养权并申请执行异议，以下为你详细介绍：
一、发现新证据时
在抚养权相关判决的执行过程中，若发现了新的关键证据，足以证实原抚养权归属的判决存在错误，这就为放弃抚养权并申请执行异议提供了合理依据。
例如，对方新患上严重的传染性疾病，这种疾病具有较强的传染性，会对子女的身心健康造成极大威胁，严重影响其继续抚养子女的能力。
在这种情况下，当事人为了子女的健康成长考虑，可能会选择放弃抚养权，并依据新发现的证据向法院申请执行异议，期望法院重新审视并调整抚养权的归属。
二、对方情况发生重大变化时
当对方的经济状况或者生活环境等方面出现重大且不利于子女成长的变化时，比如对方突然失业，失去了稳定的经济来源，无法为子女提供良好的生活和教育条件；或者其生活环境变得恶劣，如居住环境嘈杂、治安差等。
而此时己方具备更有利于子女成长的条件，如有稳定的收入、良好的居住环境等，那么当事人可以放弃抚养权并申请执行异议，请求法院变更抚养权归属，以保障子女能在更好的环境中成长。
三、考虑子女意愿及实际需求时
如果子女已满八周岁，其已经具备了一定的认知和判断能力，能够明确表达自己的意愿。
当子女明确表示愿意跟随另一方生活，且该方具备抚养能力时，当事人可以放弃抚养权并申请执行异议。
法院在审理时，会综合考虑子女的意愿以及实际需求等多方面因素，来决定是否支持这一请求。

案情回顾:

小朱和小李离婚时，法院判决孩子抚养权归小李。后小朱发现小李新患严重传染性疾病，且小李突然失业，居住环境变差。此外，已满八周岁的孩子表示愿随小朱生活。小朱遂放弃抚养权并申请执行异议，请求变更抚养权归属，引发争议。

案情分析:

1、小朱发现小李患严重传染性疾病这一新证据，足以证明原判决可能有误，从保护子女身心健康角度，小朱申请变更抚养权有合理依据。
2、小李失业且居住环境变差，不利于孩子成长，而小朱具备更有利条件，其申请变更抚养权符合保障子女成长环境的原则。
3、孩子已满八周岁明确表示愿随小朱生活，且小朱有抚养能力，综合考虑子女意愿及实际需求，小朱申请应得到重视。