遗弃婴儿所可能承担的法律责任如下：
首先是民事责任方面，婴儿的父母或其他负有监护职责的人，必须承担起对婴儿的抚养义务。
这意味着他们需要承担婴儿的生活费用、教育费用等各类民事赔偿责任。
其次是行政责任，依据《中华人民共和国治安管理处罚法》，遗弃婴儿这种行为是被明确禁止的，一旦发生，可能会被处以行政拘留等行政处罚。
这是对遗弃婴儿行为的一种强制约束，以起到警示作用，防止此类行为的再次发生。
最后是刑事责任，如果遗弃行为导致婴儿死亡或者造成了严重残疾，那么这种行为就可能构成遗弃罪。
根据法律规定，犯罪者将被处五年以下有期徒刑、拘役或者管制。
这体现了法律对婴儿生命安全的高度重视，对遗弃婴儿这种极其恶劣行为的严厉惩处。
总之，遗弃婴儿是一种严重违背道德和法律的行为，它会对婴儿的生命健康造成极大的危害，相关责任人必须承担起相应的法律后果。

案情回顾:

小朱和小李是一对夫妻，生下女儿小静后，因经济压力大决定遗弃小静。后小静被好心人发现并送往福利院，期间产生了大量抚养及医疗费用。且因前期受冻挨饿，小静身体出现严重健康问题。对于这些费用承担及小朱小李行为定性存在争议。

案情分析:

1、从民事责任看，小朱和小李作为小静的父母，有抚养义务，应承担小静在福利院期间的生活、医疗等费用，弥补给小静造成的经济损失。
2、从行政责任角度，小朱小李的遗弃行为违反《治安管理处罚法》，可能会被处以行政拘留等行政处罚。
3、从刑事责任讲，小静身体出现严重问题，若达到严重残疾程度，小朱小李可能构成遗弃罪，将面临五年以下有期徒刑、拘役或者管制。