①倘若存在私生子的情况，而其亲生父亲拒绝支付抚养费。
此时，私生子的母亲具备法定代理人的身份，她可以代孩子向法院提起诉讼。
通过法律途径，要求父亲履行抚养义务，按时支付抚养费。
这是为了保障孩子能够获得应有的生活保障和成长条件。
②依据法律的明确规定，父母对未成年子女有着抚养、教育以及保护的责任与义务。
对于那些不直接抚养非婚生子女的生父或者生母来说，应当承担起子女的生活费和教育费等费用，并且要一直负责到子女具备独立生活的能力为止。
这是法律赋予孩子的权利，也是父母不可推卸的责任。
③在诉讼的整个过程当中，母亲需要提供一系列相关的证据。
其中，孩子的出生证明是至关重要的，它能够直接证明孩子的身份以及出生情况。
同时，与父亲的亲子关系证明也不可或缺，这可以通过多种方式来获取，比如DNA鉴定等。
只有提供了这些充分的证据，才能够有力地证明父亲的抚养责任。
法院会仔细审查这些证据，并根据具体的实际情况作出公正的判决，责令父亲支付抚养费。
如果父亲仍然拒不履行判决，母亲则可以向法院申请强制执行，以确保孩子的权益能够得到切实的保障。

案情回顾:

小朱与小胡未婚生育一子，小胡作为孩子生父拒绝支付抚养费。小朱作为孩子的法定代理人，代孩子向法院起诉小胡。小朱提供了孩子出生证明，小胡不认可亲子关系，小朱申请DNA鉴定以证明亲子关系，要求小胡履行抚养义务支付抚养费。

案情分析:

1、依据法律规定，父母对未成年子女有抚养等责任义务，小胡作为生父对非婚生子也有此责任，小朱代孩子起诉合理。
2、小朱提供孩子出生证明、亲子关系证明（如DNA鉴定）是关键证据，法院会据此及实际情况判决，若小胡拒不执行判决，小朱可申请强制执行。