夫妻之间存在着相互扶养的义务，这是婚姻关系中的重要法律规定，关乎着夫妻双方在生活中的相互扶持与保障。
当其中一方不履行对另一方的扶养义务时，可按以下方式妥善处理：
1.协商解决：
夫妻双方首先应心平气和地进行沟通协商。
在这个过程中，双方可以坦诚地交流彼此的想法和需求，明确各自在婚姻关系中所享有的权利以及应承担的义务。
例如，详细讨论扶养的具体方式，是提供经济支持、生活照料还是情感陪伴等；对于扶养费用，也要确定合理的数额、支付周期等。
通过充分的沟通，促使不履行义务的一方认识到自己的责任，主动承担起扶养责任，最终就各项扶养事宜达成一致。
2.请求调解：
若双方自行协商无法解决问题，可寻求外部帮助。
所在单位、居民委员会、村民委员会等组织都可以作为调解方。
这些组织会安排相关人员了解夫妻双方的具体情况，从中斡旋协调，引导双方以平和理性的态度解决分歧，促使双方达成和解协议。
3.提起诉讼：
如果协商和调解都没有取得理想的结果，需要扶养的一方可以向人民法院提起诉讼。
法院会依据相关法律和具体事实情况进行审理并作出判决，比如判令对方支付一定数额的扶养费等。
若对方在判决后仍然拒不执行，需要扶养的一方可申请法院强制执行，以此来保障自身的合法权益。

案情回顾:

小朱和小李是夫妻，小朱因失业失去收入来源，生活陷入困境，要求小李给予经济支持，但小李拒绝，双方产生争议，小朱尝试多种方式维护自身权益。

案情分析:

1、协商解决方面，小朱和小李本应就经济支持的数额、支付周期等进行沟通协商，若小李能认识到自身责任，主动承担扶养义务，此事可妥善解决，但小李拒绝协商。
2、请求调解方面，小朱可寻求单位、居委会等调解，相关组织会协调促使双方和解，若小李配合调解，达成和解协议则问题解决，可小李未配合。
3、提起诉讼方面，小朱可向法院起诉，法院会审理判决，若小李仍不执行，小朱可申请强制执行。