当出现继承人法律资格争议时，可通过以下几种方式来妥善解决：
一、协商解决
各争议方自行展开协商，就继承人资格问题努力达成一致意见。
这种方式具有诸多优点，首先成本相对较低，不需要额外支付诸如调解费用、诉讼费用等开支。
而且效率较高，若各方能够顺利沟通并达成共识，能快速解决争议。
不过，这需要各方具备较好的沟通意愿和协商基础。
二、调解处理
可以向人民调解委员会等第三方调解机构寻求帮助。
调解人员会依据相关法律规定以及情理，积极促使各方达成和解协议。
在调解过程中，调解人员会充分听取各方意见，分析争议焦点，提出合理的解决方案。
调解协议虽然不具有像法院判决那样的强制执行力，但在一定程度上对各方具有约束力，能促使各方遵守协议内容。
三、诉讼途径
若协商、调解都无法解决争议，那么可向人民法院提起诉讼。
法院会严格依据相关法律，法院的判决具有强制执行力，能够最终确定继承人资格问题。
在此过程中，当事人应提供充分的证据来支持自己的主张，这样才有利于法院作出公正的裁决。

案情回顾:

小朱和小李就遗产继承人资格产生争议。小朱认为自己符合条件，小李则持反对意见。起初双方尝试协商，但因沟通不畅未达成一致。随后寻求调解，调解中也未能就继承人资格问题达成和解协议，争议仍未解决。

案情分析:

1、协商阶段，双方可能因缺乏沟通意愿或对法律理解差异，导致无法达成一致意见，毕竟协商需各方有良好沟通基础。
2、调解时，调解人员虽尽力协调，但可能因争议焦点复杂，无法提出让双方都满意的方案，致使调解失败。
3、若进入诉讼，双方需按法律规定提供充分证据，法院将依据相关法律作出有强制执行力的判决。