在涉及继承的相关法律事务中，继承人的举证责任主要体现在以下几个方面：
一、主体资格举证
继承人需要证明自己与被继承人之间存在法定的亲属关系，或者符合遗嘱所指定的身份。
这是确定能否继承的基础。
若涉及遗嘱继承，遗嘱本身也是证明继承人主体资格的关键证据。
通过这些证据，能明确自身具备合法的继承人资格。
二、遗嘱真实性举证
当涉及遗嘱继承时，主张按照遗嘱继承的继承人，必须对遗嘱的真实性和合法性承担举证责任。
要证明遗嘱是被继承人真实意思的表示，同时，遗嘱形式也要符合法律规定，像自书遗嘱需由被继承人亲笔书写、签名并注明日期等。
为此，可提供遗嘱订立时的见证材料、录像等证据。
三、遗产范围举证
继承人要明确被继承人遗产的具体范围。
例如，提供房产证明以确定房产归属及具体信息；银行存款明细能清晰显示被继承人的存款情况；车辆行驶证可证明车辆的所有权。
通过这些证据，能准确界定可供继承的财产范围。
四、被继承人债务清偿举证
若存在被继承人的债务纠纷，继承人需对债务的真实性、合法性以及具体数额等情况进行举证。

案情回顾:

小朱去世后，其子女小李和小胡就遗产继承产生争议。小李称有小朱遗嘱应按遗嘱继承，小胡质疑遗嘱真实性；且对于遗产范围，如房产、存款等界定存分歧；同时，还有债权人小静主张小朱有债务，要求偿还，小胡认为债务不真实。

案情分析:

1、主体资格举证方面，小李和小胡需通过户口簿、亲属关系公证书等证明自己与小朱的法定亲属关系，以确立继承人资格。
2、遗嘱真实性举证上，小李若主张遗嘱继承，要提供见证材料、录像等，证明遗嘱是小朱真实意思表示且形式合法。
3、遗产范围举证时，双方应提供房产证明、银行存款明细等，明确可供继承财产范围。
4、被继承人债务清偿举证方面，小静需提供借款合同、借条等证明债务真实合法及具体数额。