在离婚这个场景中，带女儿的那一方通常可以争取到以下这些赔偿：
其一，经济补偿方面。
倘若一方在婚姻历程里承担了较多的家庭义务，像是悉心照料家庭、精心抚养子女等，那么在离婚的时候，就有权利向对方要求获得经济补偿。
这个具体的补偿数额，得依据双方的经济状况以及其他相关因素来进行确定。
比如说，一方的收入较低，主要负责家务劳动，而另一方收入较高且忙于工作，那么在离婚时，前者就可以适当要求后者给予一定的经济补偿，以弥补自己在婚姻中付出的劳动。
其二，损害赔偿方面。
要是对方出现了重婚这种严重违背婚姻忠诚的行为，或者与他人同居，又或者实施了家庭暴力、虐待家庭成员以及遗弃家庭成员等重大过错行为，从而导致了离婚的结果，那么带女儿的这一方就可以主张损害赔偿。
这里的损害赔偿包含了精神损害赔偿等内容，具体的赔偿金额需要综合考虑过错的严重程度、给对方造成的实际后果等各种因素来进行判断。
需要特别注意的是，这些赔偿主张必须要有相应的证据来支撑，并且要在法定的时效期限内提出。
如果双方能够通过协商达成一致，那么也可以自行约定赔偿的相关事宜。
案情回顾:
小朱（女）和小李（男）育有一女。离婚时小朱带女儿，她认为自己在婚姻中承担较多家庭义务，悉心照料家庭和抚养女儿，且小李有与他人同居行为。小朱要求小李给予经济补偿并主张损害赔偿，但小李拒绝，双方产生争议。
案情分析:
1、小朱若能证明自己承担较多家庭义务，如证据显示她主要负责家务劳动、抚养孩子等，依据法律可向小李要求经济补偿，数额根据双方经济状况等确定。
2、小朱若有小李与他人同居证据，由于这属于重大过错，她有权主张损害赔偿，赔偿含精神损害赔偿，金额根据过错严重程度等判断。