依据我国《中华人民共和国刑法》第二百八十七条之二的明确规定，“帮助信息网络犯罪活动罪”的量刑是针对于一种特定的认知情况下所采取的协助或提供支持性的行为模式，即当事人明知道别人可能会将他们手中的信息网络资源用于某些非法的犯罪行为，仍选择提供相关的协助与支持。假设这样的一位人士被判定确实涉及到这个罪名，同时法院也对此进行了公正的审判及支付罚款等相关惩戒措施，那么一旦他在刑期结束之后选择再次干出同样的违法之事，理论上门题上来说，他可能会面临着再次被处罚。然而，我们必须按照我们国家民法与刑法的基本原则来看待这种问题，即在同一个罪行中，只能对犯罪者进行一次处罚。因此，假如一位因“帮助信息网络犯罪活动罪”受刑且已服完刑期的人，再一次做出此类行为的话，原则上应该依据新发生的犯罪事实以及相关证据，由当地司法机构重新启动刑事诉讼程序。然而，具体的法律适用和判决结果，还需根据每一起案件的实际情况和司法实践经验来进行判断和决定。所以，根据目前的法律规定，“帮助信息网络犯罪活动罪”的确存在着被处罚两次的可能性，但这是否会成为现实，还需要根据每一起案件的具体情况和司法实践经验来进行判断和决定。

《中华人民共和国刑法》第二百八十七条之二
明知他人利用信息网络实施犯罪，为其犯罪提供互联网接入、服务器托管、网络存储、通讯传输等技术支持，或者提供广告推广、支付结算等帮助，情节严重的，处三年以下有期徒刑或者拘役，并处或者单处罚金。
单位犯前款罪的，对单位判处罚金，并对其直接负责的主管人员和其他直接责任人员，依照第一款的规定处罚。
有前两款行为，同时构成其他犯罪的，依照处罚较重的规定定罪处罚。