在拘留所被羁押超过37天，一般来说可能出现以下几种情况。
如果负责调查的公安机构认为犯罪嫌疑人身处于证据不足的情况下，他们应该将其释放或改变强制措施为取保候审或监视居住。
然而，如果公安机关认为证据已经足够充分，那么他们将会向检察院提出申请，请求批准逮捕该名犯罪嫌疑人。
在这个过程中，检察院经过严密的审查之后，如果得出结论认为必须进行逮捕，则会做出批准逮捕的决定。
假如检察院认为无需进行逮捕，则会根据实际情况做出不批准逮捕的决定，同时要求公安机关立刻释放相关人员。
另外，如果需要继续对相关事项展开深入的调查并且符合取保候审或者监视居住的条件，公安机关则应依法采取相应的措施。
总的来说，拘留期限达到37天之后，具体的处理方式和结果将主要取决于案件所掌握的证据情况以及法律程序的进一步进展情况。