公安机关对犯罪嫌疑人采取刑事拘留措施满37天之后，可能会出现以下几种不同的预期结果：
首先，如果能够证明犯罪嫌疑人事迹重大、犯罪行为清晰明了且相关证明确凿有力，从而致使其依法须承受刑事责任者，检察院便会按照法律规定予以批准逮捕；
其次，当证人提供的证据不足以证实犯罪情节严重或者犯罪行为显著轻微，以至于无需追究刑事责任时，检察院将会做出不予批准逮捕的决定。
在此种情况下，公安机关应在接收到检察院的通知后，立即释放被拘留的犯罪嫌疑人，并将执行情况及时告知检察院。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条
【提请批捕和审查批捕的时限】公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。人民检察院不批准逮捕的，公安机关应当在接到通知后立即释放，并且将执行情况及时通知人民检察院。对于需要继续侦查，并且符合取保候审、监视居住条件的，依法取保候审或者监视居住。