根据我国现行《中华人民共和国刑事诉讼法》之第九十一条的明确规定，公安司法机构如对已实施拘留措施的人员，确有必要将其逮捕收押，应在拘留之后的三个自然日内，向上层级的人民检察院提交请求进行审查和批准的申请。
然而在某些特殊时期，比如犯罪嫌疑人行为构成系列案件、多次复发的犯罪行为或者是纠集团伙作案时，提请审查批准的时间则可相应地延长一天到四天不等。
对于那些流窜作案、多次作案以及结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间甚至可以延长至三十天。
在此过程中，人民检察院应当在收到公安机关提交的批准逮捕申请书后的七个自然日内，依法作出批准逮捕或不予批准逮捕的决定。
因此，敲诈勒索罪的批捕期限通常为三个自然日内，但在特殊情况下，最长可延长至三十天；
而人民检察院作出批准逮捕决定的期限则为七个自然日内。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条
公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。人民检察院不批准逮捕的，公安机关应当在接到通知后立即释放，并且将执行情况及时通知人民检察院。对于需要继续侦查，并且符合取保候审、监视居住条件的，依法取保候审或者监视居住。