在刑事拘留期长达三十七日后，执法机构通常会就案件进行深入调查并作出相应决定。若判定具备逮捕之必要条件，则将向人民检察院提交申请，请求批准逮捕；反之，如认为无逮捕必要性，则应立即释放嫌疑人，或采取其他强制措施，例如变更为取保候审或监视居住等。在此期间，嫌疑人及其亲属有权委托律师提供法律援助，以便了解案件的最新动态及进展情况，同时依法保护嫌疑人的合法权益不受侵犯。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条：公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。