在面临亲人涉入传销活动并因此而遭受刑事拘留这一严竣情况时，家庭成员应当立即采取适当措施以保障自身权益。具体以下几点建议:
首先是立即寻求资深刑事辩护律师的专业意见，详细了解本案的相关背景信息及其可能涉及到的辩护策略；
其次便是积极搜寻和搜集有力的证据材料，以便为律师在辩护过程中提供更具优势的支持;
最后要密切留意羁押期限，根据中国法律规定，刑事拘留最长期限为37天，在此期间警方有责任作出是否将嫌疑人逮捕的决定。若逾期未获释，则意味着嫌疑人已经遭到逮捕，此时家庭成员便需要通过律师进行后续的跟踪处理。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第八十九条：
公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。