在犯罪嫌疑人因参与赌博行为而被公安机关依法处以刑事拘留三日之后，通常情况下，警方将持续进行深入细致的调查工作，进一步收集相关证据，并根据案件实际情况作出判断，确定是否向检察院提出申请，请求批捕嫌疑人。若经调查核实，掌握的证据确凿无疑，那么嫌疑人将有可能面临刑事诉讼及随后的审判过程。在这期间，嫌疑人家属有权委托律师作为其法律代理人，为其提供必要的法律援助服务，协助其全面了解案件事实真相，积极争取获得从轻处罚的机会。律师将会依据案件的具体情况，为嫌疑人进行无罪辩护、罪轻辩护或者程序违法辩护等多种方式的辩护活动。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第八十九条：公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。