对于未成年人持刀实施抢劫行为导致受害者死亡之情况，所应承担的法律责任如下：
若抢劫时年龄已满十四周岁且构成此种罪行的，则应处以十年以上有期徒刑、无期徒刑，同时还需缴纳罚金或没收个人财产。
在此基础之上，还应对其予以从轻或减轻处罚。
然而，若抢劫时年龄尚未达到十四周岁，那么将责令其父母或其他法定监护人对其实施严格管教；
如有必要，可依法对其进行专门矫治教育。

《刑法》第十七条
已满十六周岁的人犯罪，应当负刑事责任。已满十四周岁不满十六周岁的人，犯故意杀人、故意伤害致人重伤或者死亡、强奸、抢劫、贩卖毒品、放火、爆炸、投放危险物质罪的，应当负刑事责任。已满十二周岁不满十四周岁的人，犯故意杀人、故意伤害罪，致人死亡或者以特别残忍手段致人重伤造成严重残疾，情节恶劣，经最高人民检察院核准追诉的，应当负刑事责任。对依照前三款规定追究刑事责任的不满十八周岁的人，应当从轻或者减轻处罚。因不满十六周岁不予刑事处罚的，责令其父母或者其他监护人加以管教；在必要的时候，依法进行专门矫治教育。