若犯罪嫌疑人的刑事拘留期限已超出三十七日且经由检察院批准逮捕，则其将继续被扣押并等待案件依次通过侦查、审查起诉以及审判等环节。
反之，若检察院未批准逮捕，公安机关应在接获通知后立即释放该名犯罪嫌疑人，同时将执行情况及时通报给检察院。
而对于那些仍需进一步侦查，且符合取保候审或监视居住条件的犯罪嫌疑人，依法对其实施取保候审或监视居住措施。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条
【提请批捕和审查批捕的时限】公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。人民检察院不批准逮捕的，公安机关应当在接到通知后立即释放，并且将执行情况及时通知人民检察院。对于需要继续侦查，并且符合取保候审、监视居住条件的，依法取保候审或者监视居住。