在取保候审申请医学鉴定的过程中，首先应由犯罪嫌疑人、被告人本人或其法定代理人、近亲属、辩护人向负责案件办理的公安机关提交书面申请。
在申请过程中，需提供相关的病历资料、诊断证明等能够充分证明犯罪嫌疑人、被告人患有严重疾病、生活无法自理等情形，从而有可能符合取保候审条件的相关证据材料。
随后，公安机关将对上述申请进行严格审查，并结合案件实际情况以及犯罪嫌疑人、被告人的身体健康状况，作出是否批准的决定。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
【取保候审的条件与执行】人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。