依据我国现行的《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条所述，如母亲作为潜在的犯罪嫌疑人或被告存在如下情形之一时，将有资格申请进行取保候审：首先，如果这位母亲涉嫌违法行为的最高处罚仅为管制、拘役或者附属于主刑适用的独立刑罚，并且不对其进行取保候审至多存在潜在威胁，那么她有权提出此类请求；其次，倘若母亲可能面临判处有期徒刑等重大刑罚风险而目前处于孕期或者正在哺乳自家婴幼儿阶段，同时对社会不具备危害性的，亦可提出取保候审申请。最后，如果母亲在拘留期间届满后，涉及的案件依旧未能结案并有必要采取取保候审措施，那么母亲同样享有此项权利。因此，只要这位母亲满足上述三种任何一种情况，即可向司法机关提交取保候审的申请。然而，最终能否批准以及执行的具体流程，仰赖于实际案件的具体情况与相关法律法规的严格实施。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。