依据我国《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条的明确规范，当犯罪嫌疑人或被告身患严重疾病，生活无法自我照顾，并且在对其取保候审后不会对社会产生危害性的情况下，可依法办理取保候审手续。因此，倘若关押于看守所内的犯罪嫌疑人或被告的确患有重大疾病，并满足上述相关条件，理论上是能够申请进行取保候审的。然而，最终的审批结果仍需要依法由人民法院、人民检察院以及公安机关依据实际案情与法律条款做出裁定。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。