在未聘请律师协助的情况下，嫌犯或被告及其家属有权自行向相关的侦查机构提出取保候审的申请。此项申请的流程具体如下：
首先，需要详细了解取保候审的适用条件；
其次，准备好相应的保证金或者提供合适的保证人；
最后，提交书面形式的申请至侦查机构，同时详细阐述提出申请的原因及理由。侦查机构会根据案件的实际情况来决定是否批准该申请。

《刑事诉讼法》第六十七条明确规定：
人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
(一)可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
(二)可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
(三)患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
(四)羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。取保候审由公安机关执行。