根据我国的相关法律条文，在以下几种情况下，对于被指控犯有帮助信息网络犯罪活动罪的人员，我们的司法机构有权批准其进行保释候审：
首先是可能会被判处管制、拘役或附加刑的犯罪嫌疑人和被告人；
其次是可能会被判处有期徒刑及以上刑期，且进行保释候审不会给整个社会带来危害性的犯罪嫌疑人和被告人；
再者就是身体有严重疾病、生活无法自理，又或是怀孕期间或正值哺乳期的女性犯罪嫌疑人和被告人，如果经确认进行保释候审不会给社会带来危害性的话，也可以考虑批准其进行保释候审；
最后是在羁押期限已经届满，但案件仍未审理完毕，需要进行保释候审的犯罪嫌疑人和被告人。

《刑事诉讼法》第六十七条
人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。
《刑法》第二百八十七条
【帮助信息网络犯罪活动罪】
明知他人利用信息网络实施犯罪，为其犯罪提供互联网接入、服务器托管、网络存储、通讯传输等技术支持，或者提供广告推广、支付结算等帮助，情节严重的，处三年以下有期徒刑或者拘役，并处或者单处罚金。
单位犯前款罪的，对单位判处罚金，并对其直接负责的主管人员和其他直接责任人员，依照第一款的规定处罚。
有前两款行为，同时构成其他犯罪的，依照处罚较重的规定定罪处罚。