在遭受保险公司拒绝履行赔付责任的状况下，能否向该公司追讨逾期付款利息通常需视具体情况由法官做出合理判定。
普遍来说，仅当保险公司负有明确的赔付责任，或是投保方并无严重违反保险合同条款的不当行为之时，方可考虑通过法律途径并向保险公司主张赔偿利息的权利。
若保险公司选择拒绝赔付、仅愿意针对部分损失实施赔偿或拖延赔付，那么您完全可以寻求专业律师的协助来发起诉讼程序，并且在诉讼过程中提出赔偿利息的相关诉求。
然而，必须强调的是，最终是否能够顺利获得利息支付仍然取决于法官的裁决结果。
另外，如果保险公司的拒赔决定具备充分的合理性，比如被保险人所遭遇的风险事件并不符合保险条款中所规定的理赔条件，那么保险公司便无需支付任何利息，甚至可能无法退还已经缴纳的保费。
综上所述，假如您不幸遭遇了保险公司拒绝赔付的困境，我们强烈建议您咨询专业律师以便深入了解自己的合法权益以及可能采取的有效解决方案，但是否能成功获得利息支付还需根据法律裁决的结果来确定。

《保险法》第五十七条规定：投保人对保险公司理赔决定不服的，可以依据保险合同约定或者与保险公司协商解决；
协商不成的，可以申请仲裁或者向人民法院提起诉讼。