依据《中华人民共和国民事诉讼法》第一百二十一条的明确要求，所有向人民法院提出民事诉讼请求的当事人都必须缴纳案件受理费用以及其他相关的诉讼费用。
然而，当涉诉当事人在实际缴纳诉讼费用时遇到经济困难，他们有权申请缓期缴纳、减少缴纳或者免除缴纳。
因此，在交通肇事罪的上诉过程中，诉讼费用原则上应该由提起上诉的当事人自行承担。
但是，如果上诉人因为经济原因而申请缓期缴纳、减少缴纳或者免除缴纳，并且满足相关法律法规的规定，那么人民法院将根据具体情况酌情考虑是否批准其申请。

《中华人民共和国民事诉讼法》第一百二十一条
当事人进行民事诉讼，应当按照规定交纳案件受理费。财产案件除交纳案件受理费外，并按照规定交纳其他诉讼费用。
当事人交纳诉讼费用确有困难的，可以按照规定向人民法院申请缓交、减交或者免交。
收取诉讼费用的办法另行制定。