对于被继子女是否能够享有法定继承权来承继他们亲生父亲所遗留下来的财产，这取决于该继子女是否已经与他们的继父母建立起了一种法律上认证的抚养关系。
若该继子女在长期的时间内与他们的继父母共同居住，并且是由他们的继父母进行抚养和教育，或者说，该继子女对他们的继父母履行了主要的赡养义务，那么，根据相关法律规定，该继子女便有权利继承他们的继父母所留下的遗产。
然而，如果该继子女并未与他们的继父母建立起上述抚养关系，那么，按照一般的情况来看，他们将无法继承这些遗产。

《中华人民共和国民法典》第一千一百二十七条
遗产按照下列顺序继承：
（一）第一顺序：配偶、子女、父母；
（二）第二顺序：兄弟姐妹、祖父母、外祖父母。
继承开始后，由第一顺序继承人继承，第二顺序继承人不继承；没有第一顺序继承人继承的，由第二顺序继承人继承。
本编所称子女，包括婚生子女、非婚生子女、养子女和有扶养关系的继子女。
本编所称父母，包括生父母、养父母和有扶养关系的继父母。
本编所称兄弟姐妹，包括同父母的兄弟姐妹、同父异母或者同母异父的兄弟姐妹、养兄弟姐妹、有扶养关系的继兄弟姐妹。