当夫妻中的某一位去世之后，对于其遗留下来的债务承担问题，必须依据具体情况做出分析。
若该笔债务属于夫妇双方在婚姻存续期间所形成的共同债务，那么存活着的那一方就理应对此承担起无可推卸的连带清偿责任。
反之，如果这只是已经逝去配偶个人所背负的债务，则应当由其遗产来进行偿还。
换句话说，如果继承人成功地继承了已故者的财产，他们就有义务在所继承的遗产范围之内，承担起债务的清偿责任；
而如果继承人选择放弃继承权，那他们也就无需为这些债务负责。

《中华人民共和国民法典》第一千一百六十一条
继承人以所得遗产实际价值为限清偿被继承人依法应当缴纳的税款和债务。超过遗产实际价值部分，继承人自愿偿还的不在此限。
继承人放弃继承的，对被继承人依法应当缴纳的税款和债务可以不负清偿责任。